O efeito Doppler e a aberração da luz das estrelas, descoberta por Bradley em 1725, podem ser explicados em termos da relatividade restrita, introduzida em 1905 por Albert Einstein. Vamos inicialmente rever alguns de seus conceitos básicos:

a) As leis físicas são invariantes em forma para diferentes referenciais inerciais (referenciais não acelerados).

b) A velocidade da luz é a mesma para todos os observadores inerciais.

Considere dois sistemas de coordenadas cartesianas O e O', sendo que O' se move com velocidade , como mostra a Fig. 5.7. No instante t = 0 as duas origens coincidem. As transformações de Lorentz relacionam (x,y,z,t) do referencial O com (x',y',z',t') do referencial O', de acordo com:

Onde .

Como vimos em (ii), as coordenadas espaciais e temporal estão intimamente ligadas, por isso é conveniente se trabalhar com vetores de quatro componentes (quadrivetor). Exemplos de quadrivetores são os de posição, vetor de onda e momentum, respectivamente mostrados abaixo:

Fig. 5.7 - Referenciais com movimento relativo.

O produto escalar de dois quadrivetores é feito como normalmente se multiplicam matrizes. Como exemplo, tomemos o produto dos dois primeiros quadrivetores mostrados acima:

f = kxx + kyy + kzz - wt=

(5.24)

que é exatamente a fase da onda plana. Como o produto escalar de quadrivetores é invariante quando se muda de um referencial inercial para outro, a fase da onda plana é a mesma quando vista por observadores em O e O'.

Considere uma onda plana propagando-se na direção do eixo x ( = k î). A fase vista pelo observador em O será f = kx - wt e em O' será f' = = k_x'x'+ k_y'y'+ k_z'z' - w't', isto é, estamos supondo que em O' a onda se propaga numa direção arbitrária. Como f =f' temos:

Usando as transformações dadas pela eq. (5.23), obtemos:

(5.26)

Igualando os coeficientes de cada coordenada temos as seguintes relações:

Mas como k = w/c então , e consequentemente,

(5.28)

que é a fórmula do efeito Doppler longitudinal obtida pela relatividade restrita. Para recuperarmos a fórmula clássica devemos expandir este resultado para v<<c.

Considere agora a onda plana se propagando na direção do eixo y ( = k ), sendo portanto perpendicular a . As fases vistas em O e O' são respectivamente: f = ky - wt e f' = = k_x'x'+ k_y'y'+ k_z'z' - w't'. Igualando estes dois escalares chegamos a:

(5.29)

Novamente, usando as transformações dadas pela eq. (5.23), obtemos:

(5.30)

de onde tiramos as seguintes relações:

sendo que esta última expressão nos dá a fórmula do efeito Doppler transversal, que não possui análogo clássico.

De acordo com as eq. (5.31), vemos que a direção de propagação da onda plana no referencial O' não é na direção de y', mas forma com este um ângulo dado por:

(5.32)

Este fenômeno de mudança de direção é conhecido como aberração da luz das estrelas. Devido ao fato de que um observador na Terra tem uma velocidade finita ele verá a posição da estrela diferente da posição real que ela ocupa, devido ao problema de aberração citado acima. A Fig. 5.8 mostra este efeito.

Fig. 5.8 - Aberração da luz proveniente das estrelas.

Sergio Carlos Zilio