O caso discutido acima é o das ondas harmônicas uni-dimensionais, para as quais a propagação ocorre apenas ao longo do eixo z. No caso de uma onda que se propaga numa direção qualquer do espaço, além de z, as coordenadas x e y também aparecem na solução da equação de ondas se utilizarmos o Laplaceano em coordenadas cartesianas. Assim, generalizando a eq. (4.11) temos:

(4.14)

onde o vetor define a direção de propagação da onda e é chamado de vetor de propagação, cujo módulo, como já vimos é 2p/l. é chamado de vetor posição. Os versores indicam a direção e sentido dos eixos x, y e z, do sistema de coordenadas cartesianas. A solução dada por (4.14) é de extrema importância uma vez que qualquer pulso pode ser gerado fazendo uma superposição de campos elétricos E(w), isto é, calculando a transformada de Fourier de E₀(w):

(4.15)

sendo que w₀ entra nos limites de integração. Desta forma podemos ver que a solução harmônica é uma espécie de onda básica e as soluções mais complicadas são derivadas a partir dela. Voltaremos a este assunto no Cap. 8, quando estudarmos a resolução espectral de um trem de ondas finito. Entretanto, devemos afirmar que embora esta solução seja importante do ponto de vista matemático, ela não tem significado físico, já que as condições de contorno demandariam fontes de dimensões infinitas (planos), como veremos a seguir.

De acordo com a eq. (4.14), a fase da onda é f(r,t)= - wt. Vamos encontrar para quais pontos no espaço esta fase tem o mesmo valor, isto é, queremos determinar as superfícies equifases. Assim, para um dado instante de tempo f deve ser constante e isto só é possível se = = constante. Aqui, é um versor que especifica a direção e o sentido do vetor de propagação . A realização do produto escalar nos leva a: k_xx + k_yy + k_zz = constante, que é a equação do plano visto na Fig. 4.3, cuja normal é o próprio vetor de propagação. Desta forma concluimos que a onda plana possui como superfícies equifases, planos que se propagam na direção de , com velocidade v.

Para entendermos melhor o significado de vamos fazer uso da Fig. 4.4, que representa duas superfícies equifases tais que os argumentos das funções seno diferem exatamente de 2p, significando que a onda se repete. Logo, a separação entre os dois planos é l, como discutido anteriormente. Assim, para um certo tempo t, - wt = const. e - wt= const.+2p. Subtraindo estas duas igualdades temos: = 2p. Levando em conta que o produto escalar seleciona apenas a componente

Fig. 4.3 - Superfície equifase de uma onda plana.

de paralela a (portanto perpendicular aos planos equifases), e que esta corresponde à separação entre os dois planos consecutivos, concluímos que kl = 2p e consequentemente k = 2p/l , como no caso da onda unidimensional. Como para a translação com velocidade constante, o espaço é igual à velocidade vezes o tempo, temos l = Tv = v/f. Assim obtemos v = lf = w/k, que é a velocidade de fase da onda, que será abordada com maiores detalhes no final do capítulo.

Fig. 4.4 - Significado de .

Um outro tipo de solução para a equação de ondas é a onda esférica, que está ligada à condição de contorno correspondente à radiação emitida por uma fonte pontual. Quando tal fonte emite radiação eletromagnética, a onda gerada se espalha em todas as direções, como mostrado na Fig. 4.5, diferentemente da onda plana que caminha apenas na direção do vetor de propagação . Neste caso, o campo elétrico é dado por:

(4.16)

Nesta expressão vemos que a amplitude decresce com r e a razão para isto está ligada ao princípio da conservação de energia. A potência (energia por unidade de tempo) é o produto da intensidade pela área atravessada pela onda, que no caso da esfera é A = 4pr². Logo, devido à conservação de energia (ou potência), 4pr²I deve ser constante conforme a onda esférica se propaga. Como veremos no final do capítulo, I E² (ver eq. (4.41)) de onde concluimos que E depende de 1/r. Conforme mostra a Fig. 4.5, o produto kr dá origem a uma superfície equifase esférica, dependente de r. Note que no argumento da exponencial aparecem apenas os módulos dos vetores e , e não o seu produto escalar.

Fig. 4.5 - Onda esférica.

Existem outros tipos de soluções para a equação de ondas e um dos mais comuns é a solução do tipo gaussiana, que abordaremos na seção 4.5.

Uma identidade importante é a que relaciona e . Para derivá-la devemos notar que de acordo com a expressão da onda plana,

Como = , temos , isto é, e são perpendiculares entre si. Por outro lado,

(4.18a)

significando que e são perpendiculares. Também,

(4.18b)

e assim, e são perpendiculares. Logo, concluímos que , e são mutuamente perpendiculares, como mostra a Fig. 4.6. É claro que isto só é válido em meios isotrópicos, onde . Nos meios anisotrópicos, a condição a ser utilizada é , e neste caso, , e são mutuamente perpendiculares.

Fig. 4.6 - Geometria dos vetores

Sergio Carlos Zilio