Por volta de 1870, James Clerk Maxwell introduziu um conjunto de equações envolvendo os campos elétrico e magnético, colocando de forma clara as equações empíricas existentes na época. Também introduziu o conceito de corrente de deslocamento, tornando a lei de Ampère mais geral. Estas equações, conhecidas atualmente como equações de Maxwell, estão discutidas em detalhes nos textos básicos de eletromagnetismo (ver referência 4.1). Temos:

onde o sistema internacional (MKSA) foi adotado. O último termo da eq. (4.3d) representa a corrente de deslocamento introduzida por Maxwell. Cada uma destas equações corresponde a uma lei física descoberta empiricamente. De acordo com a ordem usada acima temos: lei de Gauss, inexistência de monopolo magnético, lei da indução de Faraday e lei de Ampère-Maxwell. O significado das grandezas que aparecem neste conjunto de equações é o usual: é o campo elétrico, é a indução magnética, r é a densidade de portadores livres, é a densidade de corrente devida aos portadores livres, é o deslocamento elétrico e é o campo magnético. Introduzimos assim, a polarização elétrica e a magnetização , que correspondem à resposta do meio devido à presença dos campos elétrico e magnético, respectivamente. As constantes e₀ = 8.854x10^-12 F/m e m₀ = 4 x10^-7 H/m, determinadas empiricamente, são denominadas respectivamente de permissividade e permeabilidade do vácuo.

As equações de Maxwell podem ser combinadas de forma a gerar uma nova equação que descreve a onda eletromagnética. Antes porém, vamos fazer hipóteses simplificadoras para as relações constitutivas que nos dão a resposta do meio à presença dos campos. Vamos supor relações lineares do tipo , e (conhecida como lei de Ohm), onde e _m são respectivamente as susceptibilidades elétrica e magnética e s é a condutividade elétrica. Em geral é um tensor, de forma que as polarizações e os campos podem não ser paralelos. Entretanto, neste capítulo vamos considerar apenas meios isotrópicos, nos quais e _m são escalares, isto é, _ij = d_ij. Voltaremos a abordar o caráter tensorial destas grandezas quando tratarmos da propagação da luz em meios anisotrópicos dentre os quais se enquadram diversos tipos de cristais. Desta forma, , onde e são paralelos. Analogamente, = m , onde m = m₀ (1+ c_m). Definiremos constante dielétrica como k_e = e/e₀ = (1+ c) e permeabilidade magnética como k_m = m/m₀ = (1+ c_m).

Estamos interessados em estudar a propagação de ondas eletromagnéticas num meio livre e homogêneo, isto é, r = = 0, m e e não dependem da posição. Tomando-se o rotacional da eq. (4.3c) temos:

(4.4)

Usando a eq. (4.3d) com = 0, a identidade vetorial e o fato que num meio livre e homogêneo, , obtemos a equação de ondas:

(4.5)

Analogamente, tomando o rotacional da lei de Ampère-Maxwell e usando as eq. (4.3b) e (4.3c), obtemos uma equação similar para o campo magnético:

(4.6)

Se considerarmos a propagação em apenas uma dimensão (apenas na direção z, por exemplo), o Laplaceano se transforma numa derivada segunda com relação a z, e assim as eq. (4.5) e (4.6) tem a forma da equação de ondas dada por (4.1). Este tipo de equação já era conhecido na época, de forma que Maxwell pode concluir que se tratava de uma onda com velocidade de propagação . É interessante enfatizar que quando estas equações foram obtidas pouco se conhecia sobre a natureza da luz. Apenas quando Maxwell substituiu os valores de e , conhecidos empiricamente através de medidas de capacitância e indutância, obteve-se que a onda eletromagnética tinha uma velocidade de propagação igual à da luz, e assim pode ser feito o relacionamento entre a óptica e o eletromagnetismo. No caso tridimensional, as equações (4.5) e (4.6) são cada uma um conjunto de três equações para as componentes, isto é:

Existe ainda um conjunto de equações similares para o campo magnético. Todas são equações diferenciais lineares, de segunda ordem, que podem ter uma infinidade de soluções, dependendo das condições de contorno impostas pela geometria de cada situação particular. Na seção seguinte vamos discutir os tipos de soluções mais comuns.

Sergio Carlos Zilio