Embora Hamilton tivesse desenvolvido a analogia exposta na seção precedente ainda em 1828, ele não tinha motivos para atribuir qualquer caráter ondulatório a uma dada partícula. Desta forma, por falta de evidências experimentais não foi possível a ele encontrar uma equação de ondas para descrever o comportamento da partícula. Foi Erwin Schrödinger que, em 1927, estendeu a analogia de Hamilton e encontrou uma equação de ondas para descrever o movimento de um ponto material. A idéia seguida por Schrödinger está esquematizada na Fig. 2.10. Sabia-se que a óptica geométrica era um caso limite da óptica ondulatória e que era análoga à mecânica Newtoniana de uma partícula. Seria possível obter alguma equação, no mesmo pé de igualdade da equação de ondas eletromagnéticas, que levaria à mecânica clássica no limite em que alguma grandeza, , inerente à esta teoria tendesse a zero?

Fig. 2.10 - Conjectura de Schrödinger.

Da analogia de Hamilton, W corresponde ao eikonal S. Levando-se em conta a parte temporal, a ação A = W -Et deve corresponder à fase da onda eletromagnética, dada por:

(2.63)

onde as substituições k₀ = 2p/l₀ e l₀ = c/n foram introduzidas. Comparando os termos com dependência temporal na fase da onda e na ação, Schrödinger concluiu que a energia da partícula deveria ser proporcional à frequência de alguma onda associada a ela, cuja propagação está mostrada na Fig. 2.9. Assim,

onde h é uma constante de proporcionalidade, que mais tarde foi identificada como sendo a constante de Planck. Associando um comprimento de onda à propagação da superfície A(t) no espaço das configurações e levando em conta que esta se propaga com uma velocidade de fase dada por v_f = E/p, temos:

(2.65)

Desta forma, Schrödinger conseguiu associar um comprimento de onda à partícula de momentum p. Este comprimento de onda foi posteriormente deduzido por de Broglie de uma outra maneira e porisso leva o nome de comprimento de onda de de Broglie. A eq. (2.65) permite encontrar o vetor de propagação como:

(2.66)

onde = h/2p , e as relações p² = 2mT e E = T-V foram utilizadas. Substituindo o valor de k dado em (2.66) na equação de ondas reduzida, eq. (2.37), chegamos à equação de Schrödinger:

(2.67)

onde o vetor campo elétrico foi substituido por uma nova função, y, cuja interpretação será deixada para os textos de mecânica quântica.

Em resumo, para se obter a equação de Schrödinger, é necessário associar um comprimento de onda à partícula de momentum p (comprimento de onda de de Broglie) e isto pode ser feito estendendo-se a analogia de Hamilton. A partir disto, usa-se a conservação de energia e a equação de ondas na sua forma reduzida para a obtenção da equação de Schrödinger.
Para finalizarmos esta seção, vamos mostrar que a velocidade de grupo associada à propagação da superfície de ação constante corresponde à velocidade da partícula. Como veremos no Cap. V, a velocidade de grupo, ou de pacote de onda, é dada por:

(2.68)

com w = 2pn . Usando a eq. (2.65), e considerando que e E = hn , temos:

(2.69)

cuja derivada com respeito a nos fornece v_g^-1:

(2.70)

Substituindo hn por E e , obtemos v_g = p/m = v.

Sergio Carlos Zilio