O Potencial Ótico

Como vimos na seção anterior, as equações de ondas eletromagnéticas e de Schrödinger são formalmente equivalentes desde que se associe o comprimento de onda de de Broglie à partícula. No limite clássico da equação de Schrödinger, que corresponde ao caso h 0 ( 0), recuperamos as equações da mecânica clássica. Para sistemas conservativos temos:

(2.71)

e este tipo de equação também deve existir na óptica geométrica devido à equivalência entre as duas equações de ondas. Usando (2.66), podemos definir um potencial óptico como:

(2.72)

Na presente analogia, a óptica geométrica está ligada ao limite clássico da equação de Schrödinger, no qual a 2a lei de Newton é válida. Desta forma,

(2.73)

Como k() = k₀n() e k₀ = w/c, temos:

(2.74)

Assim, obtemos a aceleração que atua sobre uma partícula de luz quando esta atravessa um meio com índice de refração variável. Entretanto, a eq. (2.74) mistura o caráter de uma partícula de massa m com o de onda (w,c). Para eliminarmos a massa desta equação, faremos uso da relação de de Broglie:

(2.75)

onde k₀ = w/v = nw/c. Substituindo (2.74) em (2.73) obtemos uma expressão para a aceleração de um raio de luz que se propaga com velocidade v = c/n num meio cujo índice de refração depende da posição:

(2.76)

Entretanto, a solução desta equação é complicada, uma vez que v também pode depender da posição. Para simplificá-la, vamos tomar a aproximação paraxial que estabelece que o movimento do raio está confinado em torno do eixo de propagação, que denominaremos de z. Neste caso, v dz/dt e a aceleração pode ser expressa como:

(2.77)

onde a regra da cadeia foi utilizada. Substituindo (2.77) em (2.76) e cancelando v obtemos:

(2.78)

Usando e aplicando novamente a regra da cadeia chegamos a:

(2.79)

que nos leva à equação de propagação de raios:

(2.80)

Podemos comparar este resultado com a equação dos raios obtida anteriormente. Usando a aproximação paraxial (d/ds d/dz) na eq. (2.31) e realizando a primeira derivada com respeito a z, temos:

(2.81)

Vemos então que o primeiro termo desta equação não aparece em (2.80). Para efeitos práticos isto não tem muita importância, pois a duas equações são válidas apenas na aproximação paraxial, que só tem sentido quando a variação de n é muito pequena. Na solução da eq. (2.81), despreza-se em geral o primeiro termo e aproxima-se n por n₀ no segundo termo.

Podemos entender a ausência do termo proporcional a dn/dz em (2.80) re-escrevendo o potencial óptico como:

(2.82)

que corresponde a um termo constante e outro muito pequeno. Para passarmos do caso quântico para o clássico devemos ter h 0. Isto significa que os níveis de energia do sistema são quase contínuos e para isto o potencial deve variar lentamente no espaço. Assim, o primeiro termo de (2.81) pode ser considerado como de 2a ordem e portanto desprezado.

Em conclusão, introduzimos um potencial óptico com o qual obtivemos uma equação que descreve a propagação dos raios na aproximação paraxial. Este conceito é interessante porque através dele podemos entender porque os raios de luz procuram sempre as regiões de maior índice de refração (menor potencial). Como exemplo, numa fibra óptica o núcleo possui índice de refração levemente superior ao da casca, o que garante que os raios de luz fiquem confinados próximos ao seu centro.

Sergio Carlos Zilio