| Objetivos: |
1. Medir
intervalos de tempo através de estímulos auditivos.
2. Obter valores de grandezas através de linearização.
3. Discutir a precisão das medidas.
4. Obter o valor da aceleração da gravidade. |
Introdução:
Através da queda livre de esferas de aço pode-se medir
a aceleração da gravidade g. Se as esferas forem soltas
de uma altura h, sem velocidade inicial (v0
= 0), vale a relação v = gt, onde v é a velocidade
final da esfera e t, o intervalo de tempo de queda.
Vale, também, a relação h = 1/2 gt2.
Medindo-se os intervalos de tempo t, diferentes para cada altura h
escolhida, podemos obter a constante g através da linearização
dessa função quadrática. Se colocarmos em um
gráfico diretamente h em função de t, teremos
uma parábola. Mas se calcularmos os quadrados de t, isto é,
t2, e fizermos um gráfico
de h em função de t2,
é como se estivéssemos analisando a função
h = 1/2gz, onde z = t2.
| |
|
onde
 |
Portanto, h em função de z é apresentada por
uma reta, cujo coeficiente angular é
Este processo de análise é chamado linearização
e é muito utilizado para facilitar a obtenção
de constantes através de uma reta. Note que é mais fácil
traçar uma reta média do que uma parábola média,
pois basta o uso de uma régua.
Material
necessário:
Esferas de aço (podem ser obtidas desmontando rolamentos gastos),
cronômetros, placa metálica (bacia de alumínio),
fita métrica ou trena.
Procedimento:
1.
Cubra uma parede com uma tira de papel e sobre esta faça marcas
a 0,5m, 1,0m, 1,5m, 2,0m e 2,5m acima de uma placa metálica
(ou bacia) colocada no chão.
2.
Um aluno se posiciona de modo a largar (com velocidade inicial nula)
as esferas, cada vez de uma das marcas (do item 1) correspondentes
a alturas h diferentes. Ao soltar a esfera, o aluno sinaliza verbalmente:
"já". Outros alunos do grupo iniciam a cronometragem
da queda. Os cronômetros devem ser desligados quando se ouve
o ruído da queda da esfera.
Observação:
Desta forma, o intervalo de tempo medido depende de estímulos
auditivos no início e no fim da cronometragem e fica sujeita
apenas às flutuações nos tempos de reação
para esse estímulo. Tira também o erro de paralaxe nas
observações da passagem das esferas por marcas.
3.
Organize os dados numa tabela. Se vários alunos medirem simultaneamente
os tempos de queda, todas as medidas devem ser anotadas e deve-se
usar o valor médio obtido como o mais representativo do grupo
de alunos. O desvio experimental deve ser obtido como anteriormente
(valor máximo - valor mínimo)/2.
4.
Para cada valor de h, vocês obterão um valor médio
t de tempo. Organizem agora uma tabela com os valores de h, t e t2.
5.
Façam um gráfico de h x t2
e tracem a reta média.
6.
Se cada aluno fizer o seu próprio gráfico, cada aluno
obterá um valor para o coeficiente angular. O valor médio
dos coeficientes representa o conjunto de dados utilizados e a dispersão
representa aproximadamente o desvio experimental. Colecionem esses
valores numa tabela.
7.
Calculem o valor médio do coeficiente angular e o desvio.
8.
O valor de g e do respectivo desvio é dado pelo dobro do coeficiente
angular obtido no item anterior.
9.
Compare com o valor (9,8 ± 0,1) m/s2aceito
para São Paulo.
10.
Se forem usadas as medidas de tempo de apenas um aluno, não
é possível adotar este procedimento. Nesse caso, os
dados devem ser analisados de outra forma.
ALTERNATIVA
DE ANÁLISE E TOMADA DE DADOS
1.
Para diferentes valor de h, o aluno deve repetir as medições
dos intervalos de tempo várias vezes (por ex., 5 ou 10). Organize
uma tabela de dados:
| |
t2
(s)
(para h2 = 1,0m) |
t3
(para h3 = 1,5m) |
t4
(para h4 = 2,0m) |
|
t
|
|
|
|
2.
Os valores médios e os respectivos desvios das medições
de intervalo de tempo devem ser calculados para completar a tabela.
3.
Faça uma outra tabela (ou acrescente linhas na tabela do item
1) com valores de h,
4.
Faça um gráfico de h x t2.
5.
Trace a reta média e calcule o coeficiente angular correspondente.
6.
Observe se é possível traçar outra reta aceitável.
Em caso positivo, trace e calcule o novo coeficiente angular.
7.
Calcule o valor médio dos coeficientes e o desvio (diferença
dos dois valores dividido por dois).
8.
Obtenha o valor de g e do seu desvio multiplicando por dois o coeficiente
angular e desvio do item anterior.
9.
Discuta a precisão do valor obtido tendo por base a variação
no seu tempo de reação para estímulo auditivo.
Por exemplo, um outro colega indica verbalmente um intervalo de tempo
de 5 segundos, enquanto você cronometra sucessivamente. Anote
os valores obtidos e obtenha a dispersão no tempo de reação.
Repita para um intervalo de tempo de 2 segundos.
10.
Utilize essa dispersão para analisar a dificuldade de medir
intervalos de tempo menores que 1 segundo, como é o caso das
medições efetuadas. Discuta com os colegas.
11.
Na verdade, em vez de usar apenas t2
seria necessário usar (tmax)2
e (tmin)2 para cada valor
de t2. No lugar de um ponto, deveria
haver uma região de t2possíveis
de serem encontrados. Tente analisar novamente.
Observação:
Note que o tempo de reação é de décimos
de segundo, mas a dispersão é menor; mas não
muito menor, dependendo da pessoa.
12.
Discuta a validade do método. Quais são as alternativas
possíveis de melhoria?
Observação:
O uso de muitas medições feitas por indivíduos
diferentes tende a melhorar o valor obtido e não é muito
entediante. O uso de alturas muito grandes não é aconselhado
por motivo de segurança física dos alunos.
| ATENÇÃO: |
|
Para
h = 0, T = 0, então, a origem nos gráficos
também é um ponto experimental, fato
que deve ser considerado ao traçar a reta média
em qualquer modo de análise.
|
1)
1ª Lei de Kepler
| Fixar
dois pregos numa tábua recoberta com uma folha de papel,
como mostra a figura. Desenhe
uma elipse como um jardineiro faria: use um fio amarrado nos
dois pregos. Com um lápis estique o fio e desenhe a
elipse. Essa é a forma da trajetória de um planeta
quando o Sol ocupa um dos focos (onde está um prego). |
|
2)
g varia com a altura
Newton mostrou que a atração gravitacional observada
na queda livre é idêntica à atração
gravitacional entre massas. Assim, podemos escrever:
onde
m é a massa de um corpo no espaço;
g = aceleração da gravidade;
G = constante universal da gravitação;
M = massa da Terra
R = raio da Terra
h = altura do corpo no espaço acima da superfície da
Terra.
Estamos admitindo a massa inercial igual à massa gravitacional.
Teremos assim:
O
valor de g depende da altura h. Dado o valor do raio da Terra, h deve
ser muito grande para se notar algum efeito.
Dados:
Calcule
o valor de g para algumas alturas:
1) altura do Everest
2) altura da órbita de um satélite geoestacionário
h = 36.000km
3) altura de um prédio de 100 andares h = 300m
Marques
e Ueta
