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[] Caos em Sistemas Dinâmicos [A. P. S. de Moura; C. Grebogi]
Caos em Sistemas Dinâmicos
Alessandro P.S. de Moura; Celso Grebogi
Instituto de FÃsica, Universidade de São Paulo,
São Paulo, SP
Desde o século XIX já era
conhecido o fato de que a dinâmica de alguns sistemas fÃsicos determinÃsticos
pode ser bastante sensÃvel à s condições iniciais. No entanto, a importância e a
generalidade deste fato só começou a emergir a partir do trabalho de Poincaré em
mecânica celeste [1]. Poincaré foi o primeiro a analisar sistemas dinâmicos
descritos por equações diferenciais ordinárias usando métodos globais e
qualitativos, através dos quais o comportamento de famÃlias de soluções pode ser
estudado. Usando este tipo de método, é possÃvel demonstrar que, em sistemas
dinâmicos autônomos (que não dependem do tempo) descritos por equações
diferenciais cujo espaço de fase tem duas dimensões, o comportamento assintótico
das trajetórias é simples, restringindo-se essencialmente a pontos fixos e
ciclos-limite (este resultado é demonstrado através do que hoje é conhecido como
o teorema de Poincaré-Bendixon). Poincaré descobriu, no entanto, que, em
sistemas de maior dimensionalidade, comportamentos extremamente complexos podem
acontecer. Analisando o problema dos três corpos restrito, ele demonstrou que as
trajetórias na vizinhança de certas órbitas, chamadas órbitas homoclÃnicas,
são extremamente complexas. Este resultado pode ser considerado o marco inicial
da área de sistemas dinâmicos caóticos.
O progresso nesta área continuou
com o trabalho de Birkhoff [2], que ajudou a elucidar em detalhes a estrutura
das trajetórias perto das órbitas homoclÃnicas. A generalidade e importância
destes resultados foram enfatizadas mais tarde pelo importante trabalho de Smale [3].
Ele demonstrou que, na região do espaço de fase próxima de uma órbita
homoclÃnica, a dinâmica é topologicamente equivalente a um simples mapeamento do
plano, conhecido como a ferradura de Smale, que pode ser inteira e
rigorosamente analisado. Utilizando este mapeamento, Smale demonstrou, entre
outras coisas, que perto de qualquer órbita homoclÃnica existe um conjunto
infinito e enumerável de órbitas periódicas, com perÃodos arbitrariamente longos;
existe um conjunto infinito e não-enumerável de órbitas aperiódicas; órbitas
inicialmente próximas afastam-se uma da outra exponencialmente; e muitos outros
resultados.
Os trabalhos iniciais de
Poincaré e Birkhoff lidavam com sistemas Hamiltonianos, em que a dinâmica
preserva o volume do espaço de fase. No entanto, Cartwright e Littlewood [4],
juntamente com Levinson [5], mostraram que órbitas homoclÃnicas, assim como a
rica dinâmica associada a elas, estão presentes também em sistemas dinâmicos
dissipativos. Eles estudaram a equação de Van der Pohl, que descreve o
comportamento de um circuito elétrico não-linear com dinâmica dissipativa, e
mostraram a existência de órbitas homoclÃnicas.
Somente a existência de órbitas
homoclÃnicas não implica necessariamente que a dinâmica assintótica (para
 )
seja caótica, pois as órbitas caóticas podem representar um
movimento transiente. No entanto, mesmo neste caso, a presença de caos tem
implicações profundas para a dinâmica. Se, por exemplo, um sistema dissipativo
tiver múltiplos atratores, mesmo que cada um deles seja regular, a fronteira no
espaço de fase entre suas bacias de atração pode ter uma estrutura complexa
(“fractal”). Isto leva a uma grande indeterminação no estado final do sistema
(ou seja, para qual atrator uma dada condição inicial irá). Este comportamento é
chamado de caos transiente, e ele também acontece em sistemas
espalhadores, sendo neste contexto conhecido como espalhamento caótico.
Mais informações
[1] H. Poincaré, “Les méthodes nouvelles de
la mécanique celeste”, Paris, Gauthier-Villars et fils (1899).
[2]
G.D. Birkhoff, “Dynamical systems”, American Mathematical Society, Colloquium
publications vol. , New York (1960).
[3]
S. Smale, Bull. Am. Math. Soc. , 747 (1967).
[4]
M.L. Cartwright, J. E. Littlewood, London Math. Soc. , 180 (1945).
[5]
N. Levinson, Ann. Math. , 127 (1949).
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